Meccanica

In questo articolo, ho formulato e raccolto alcune delle definizioni più utili in Meccanica Razionale. E’ una raccolta rapida e molto ridotta, con elementi presi qua e là. Si tratta di definizioni intuitive, empiriche, volte a capire, fisicamente, a cosa sono legate queste grandezze.

MeccanicaMomento di Inerzia – resistenza di un corpo, dotato di massa, a mutare velocità rotazionale

Tensore – intuitivamente, matrice a più dimensioni; i vari elementi vengono individuati con indici.

Tensore di Inerzia – grandezza fisica che indica come una distribuzione di masse (in un corpo) reagisce a moti e rotazioni.

Omografia – Relazione biunivoca tra due punti di spazi diversi. Nel caso dei tensori di inerzia, questa relazione individua un ellissoide.

Vincolo di Rigidità – relazione fondamentale alla base dei sistemi rigidi. Indica che la distanza tra due punti in un sistema rigido rimane (idealmente) costante nel tempo; nei sistemi reali, si potrebbe dover tener conto di deformazioni temporanee e non.

Sempre nel caso ideale, i vincoli di rigidità non svolgono lavoro (facilmente dimostrabile).

Vincolo – relazione, nel caso più semplice in una dimensione, tra due coordinate.

Vincolo liscio – vincolo che non modifica l’energia del sistema cui è riferito. Dunque compie lavoro nullo.

Vincolo olonomo – vincolo tra coordinate de punti, caratterizzabile da equazioni o disequazioni a termini finiti, o da relazioni differenziali integrabili (riconducibili al caso precedente). Matematicamente, può essere definito come relazione tra coordinate le cui funzioni sono regolari (almeno di classe C^1), espresse in forma parametrica (fondamentale per le equazioni lagrangiane). Affichè tali componenti siano linearmente indipendenti, si studia lo Jacobiano, verificando di avere rango massimo. I vincoli facenti parte di un Sistema di vincoli, devono essere compatibili, cioè avere regioni del dominio e soluzioni comuni. Questa compatibilità è studiabile con

\nabla f_1 \times \nabla f_2 = 0.

Equazione Lagrangiana di un sistema

Basata sulle caratteristiche dei vincoli olonomi e lisci, ha la notevole capacità di esprimere il moto di un sistema vincolato tramite equazioni di moto pure, indipendenti dal riferimento usato, in quanto i vincoli sono impliciti nei parametri usati (verificabile con il teorema del Dini). Questa è la vera potenza della trattazione Lagrangiana, che molto spesso, permette di ridurre il calcolo delle equazioni di moto a poche e semplici equazioni.

Spazio Normale e Tangente

Dati N coordinate (spazio di dimensione R^n), e m vincoli, troviamo l=N-m equazioni di moto pure, definite nello spazio tangente del moto. Infatti, per ogni sistema è possibile individuare uno spazio normale al moto, di dimensione m, in cui sono i vincoli, e uno spazio tangente, di dimensione l. I due spazi sono complementari. A queste definizioni di spazio, è associabile il “lavoro virtuale”, nel piano tangente.

Il più classico degli esempi in R^3 (spazio a 3 dimensioni): l’uomo dentro l’ascensore. L’ascensore è il vincolo, e si muove nello spazio normale di dimensione 1 (intuitivamente, su e giù). L’uomo può muoversi camminando sul piano dell’ascensore, in uno spazio a 2 dimensioni, cioè lo spazio tangente al vincolo.

Teorema di Eulero

Teorema fondamentale della cinematica dei rigidi. La dimostrazione algebrica è molto semplice, ma la tralascio a favore di una spiegazione discorsiva dell’enunciato: dato un sistema di riferimento e un corpo rigido che si muove di moto di precessione qualsiasi (cioè un punto si mantiene fisso nel moto), è sempre possibile riportare il rigido alla configurazione iniziale (posizione all’istante iniziale, prima del moto) tramite una sola rotazione intorno ad un asse. La scelta dell’asse di rotazione dipende ovviamente dal tempo trascorso e dal moto di precessione effettuato dal corpo.